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我想請(qǐng)你回憶過(guò)去，當(dāng)你真的熱愛(ài)過(guò)一些東西，例如一部電影，一張專輯，一首歌曲或一本書， 并且你全心全意的向你所鐘愛(ài)的人推薦，你預(yù)期對(duì)方會(huì)有和你一樣的反應(yīng)，你等著等著，得到的答案卻是，他恨死那東西了。

因此，以這種方式介紹，在這種完全相同的狀態(tài)下，我度過(guò)了在過(guò)去六年工作中的每一天。我在高中教數(shù)學(xué)，生產(chǎn)一種市場(chǎng)不想要，但法律規(guī)定必須買的產(chǎn)品，我想著真的是賠錢貨哦。

拿我學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的刻板印象，用來(lái)預(yù)測(cè)你們的行為結(jié)果也管用。如果我給各位作一個(gè)數(shù)學(xué)（Ⅱ）的期末測(cè)驗(yàn)，我不敢期望有超過(guò)25%的合格率。這兩個(gè)事實(shí)并不表示你們的問(wèn)題或是我學(xué)生的問(wèn)題，它表現(xiàn)的反應(yīng)出美國(guó)今天所面臨的數(shù)學(xué)教育的通病。

首先，我將數(shù)學(xué)分成兩類。第一類是計(jì)算，這是你們已經(jīng)忘記的東西。例如，二次方系數(shù)大于一的因式分解。這東西也很容易重新學(xué)習(xí)，只要你有一個(gè)關(guān)于推理，數(shù)學(xué)推理真正過(guò)硬的基礎(chǔ)，我們將這稱之為我們周圍世界里的數(shù)學(xué)程序應(yīng)用。

這點(diǎn)是很難教授的，也是我們希望學(xué)生能夠掌握并應(yīng)用，即使他們不進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域。這也是在美國(guó)，由于我們教授它的方式以致于學(xué)生不會(huì)應(yīng)用它。所以，我要談?wù)勥@是為什么，為什么它會(huì)成為當(dāng)今社會(huì)的災(zāi)難，我們可以為此做什么，而且，更進(jìn)一步，為什么現(xiàn)在成為一名數(shù)學(xué)老師，這正是一個(gè)千載難逢的好時(shí)代。

第一，你在數(shù)學(xué)課堂上做的五個(gè)征兆是在數(shù)學(xué)推理上錯(cuò)誤的。一個(gè)是缺乏主動(dòng)性，你的學(xué)生沒(méi)有自我行動(dòng)。你完成你的演講，然后馬上，你就會(huì)看到五個(gè)人舉手要求你到他們課桌前重新解釋整件事。第二，學(xué)生缺乏堅(jiān)持不懈。第三，他們?nèi)鄙俪掷m(xù)記憶力，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在3個(gè)月后需要完完全全的重新解釋這些概念。第四，還存在著一種對(duì)文字題的反感，這占了我學(xué)生中的99%。第五，這種情況下，剩下的1%正在急切地尋找公式來(lái)解決問(wèn)題。這實(shí)在是毀滅性的。

David Milch是“米蟲(chóng)”影集以及其他的精彩電視節(jié)目的制作人，對(duì)此他有一個(gè)很好的描述。他發(fā)誓要停止創(chuàng)造當(dāng)代戲劇，及當(dāng)今的單元連續(xù)劇，因?yàn)樗庾R(shí)到，當(dāng)人們的腦中一天四小時(shí)想到。例如，“兩個(gè)半男人”，沒(méi)有冒犯的意思，這就形成了神經(jīng)傳導(dǎo)通路，他說(shuō)，以這樣一種方式，人們期望簡(jiǎn)單的問(wèn)題。他稱這是“一種無(wú)法做決定的焦慮。”

人們對(duì)不能快速解決的事情不耐煩。人們期望各種問(wèn)題像情景喜劇一般，可以在22分中結(jié)束，3個(gè)廣告橋段和一個(gè)笑聲背景中完成。而在真實(shí)情況中，我告訴你們所有人，如大家知道的，解決任何問(wèn)題都不是那樣簡(jiǎn)單。我對(duì)此很擔(dān)憂，因?yàn)槲乙诵輹r(shí)的世界，會(huì)是由我的學(xué)生這一代人來(lái)運(yùn)作。

如果我用現(xiàn)在的方式教育他們，那我就是在跟我自己的未來(lái)及福利過(guò)不去。我在這里告訴大家，現(xiàn)今的教科書，特別是大眾常用的教科書，它們教授數(shù)學(xué)理論和耐心解決問(wèn)題的方式，功能上和打開(kāi)“好漢兩個(gè)半”電視系列劇一樣，然后這就結(jié)束了（消磨時(shí)間）。

這問(wèn)題要嚴(yán)肅以待，這里是物理教科書上的一個(gè)例子，它同樣適用于數(shù)學(xué)。首先注意到這里，它提供3個(gè)片段資訊，每一個(gè)都可以表示成某個(gè)公式，最終，學(xué)生可以以此計(jì)算。我相信，在真實(shí)生活中，有哪些你解決過(guò)的有價(jià)值的問(wèn)題。是你在事先就知道所有的資訊是不需要你由過(guò)多的資訊中，過(guò)濾出有價(jià)值的部分，或是資訊不足，你必須再找其他資訊補(bǔ)足的。

我肯定大家都同意解決問(wèn)題都不是如上所述那么簡(jiǎn)單。 我認(rèn)為，教科書實(shí)在是誤人子弟。看看這個(gè)就知道，這是一個(gè)練習(xí)題，當(dāng)要實(shí)際做這問(wèn)題時(shí)，我們只要將數(shù)字切換進(jìn)去，做一些小處理，答案就出來(lái)了。

如果學(xué)生們不知道這類數(shù)學(xué)題模式，而它會(huì)幫助向你解釋例題，讓你回頭找到解題所需的公式。所以你可以逐一將各數(shù)字帶入公式，而不必懂物理。只是知道解碼，就得到答案，這實(shí)在太不應(yīng)該了。

對(duì)于數(shù)學(xué)，我可以更精準(zhǔn)的診斷它的問(wèn)題點(diǎn)。這是一個(gè)很酷的問(wèn)題，我非常喜歡它。它是關(guān)于確定斜率及坡度是否在一個(gè)滑雪纜車上，但在這里有四個(gè)不同層面，我很好奇你們哪個(gè)可以看到這四個(gè)不同層面的，特別是當(dāng)四張圖被壓縮在一起，一次性的展現(xiàn)給學(xué)生，又如何輕易地解決問(wèn)題，我將在這里詳細(xì)說(shuō)明它們。

你有圖像，也有數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，例如格子、尺寸、標(biāo)示、點(diǎn)、軸，諸如此類。但解題前需要有次步驟，用于解決前述各項(xiàng)結(jié)構(gòu)中哪些和斜率有關(guān)系，哪一個(gè)部分坡度最大。

我希望你們能看到。我們?cè)谶@里是在談一個(gè)激發(fā)興趣的問(wèn)題，一個(gè)有意思的答案，但我們應(yīng)該在開(kāi)拓一個(gè)平整的，簡(jiǎn)單明了的路徑，從一點(diǎn)到另一點(diǎn)，然后祝賀我們的學(xué)生，為他們能夠很好的沿路踏過(guò)小縫隙。

這就是我們現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教育。所以我想展示給你們的是，如果我們能以不同方式分開(kāi)這些，和學(xué)生們一起建造它們，我們可以處理所有需耐心解決的問(wèn)題。

就在這里，我以圖像開(kāi)始，馬上問(wèn)個(gè)問(wèn)題：哪個(gè)部分最陡？這會(huì)引起交談，因?yàn)閳D像創(chuàng)造的方式使你可以用兩個(gè)答案辯解，這樣你可以促進(jìn)人們互相爭(zhēng)論，朋友對(duì)朋友的爭(zhēng)論，情侶對(duì)情侶，或者讀者和期刊等……

然后我們最終認(rèn)識(shí)到，在討論屏幕左下方的滑雪者，或是剛上中線的滑雪的人，這是挺討厭的。另外，我們也會(huì)認(rèn)識(shí)到，如果我們就只討論ABCD四個(gè)標(biāo)示點(diǎn)，事情會(huì)簡(jiǎn)化一些。

當(dāng)我們給坡度下定義時(shí)，會(huì)了解如果能作一些量度，事情會(huì)比較好處理，可以把問(wèn)題作歸納，了解問(wèn)題的涵義，只有在這時(shí)候，我們才將數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)鋪陳出來(lái)。

數(shù)學(xué)提供的是對(duì)話，而不是用對(duì)話來(lái)服侍是數(shù)學(xué)。在這一點(diǎn)，我將展示給你們看，如果10個(gè)班里有9個(gè)班先用這種方式，再進(jìn)行斜率、坡度教學(xué)，效果會(huì)更好。如果你的學(xué)生們可以共同發(fā)展解題的次步驟。

你們可以比較這邊這個(gè)和那邊那個(gè)，哪一班可以產(chǎn)生耐心解決問(wèn)題及數(shù)學(xué)推理的效果呢？以我過(guò)去的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，答案很明顯的。我這就要談?wù)剱?ài)因斯坦，我認(rèn)為他做了應(yīng)有的貢獻(xiàn)。他談到規(guī)劃問(wèn)題的能力是如此重要，但在我的實(shí)踐中，在美國(guó)，我們僅僅把問(wèn)題交給學(xué)生，卻沒(méi)有讓學(xué)生參與問(wèn)題的形成及規(guī)劃。

所以我每周五小時(shí)的課前準(zhǔn)備工作中，有90％的時(shí)間是拿問(wèn)題中非常吸引人的元素，像在我的教科書里的這些問(wèn)題，把它們重組成能支持?jǐn)?shù)學(xué)推理和耐心解決問(wèn)題的方法。這里是它如何運(yùn)作的。這是關(guān)于一個(gè)水桶，問(wèn)題是：將水槽灌滿需要多少時(shí)間？第一件事，我將教材中所有的次步驟刪除。

學(xué)生必須自己去發(fā)展出來(lái)，用公式化表達(dá)它們，他們必須自己規(guī)劃解題的次步驟，因此他們就注意到，所有寫在那里的都是解題所需要的，沒(méi)有一個(gè)是我們可以忽略分心的。學(xué)生們需要決定，好了，水槽高度重要嗎？它的尺碼重要嗎？開(kāi)關(guān)的顏色重要嗎？哪些才是真正的重要因素？以現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教材而言，這題目敘述不完整。我們有了一個(gè)水桶，多長(zhǎng)時(shí)間會(huì)把它裝滿，題目就是這樣。

因?yàn)檫@是21世紀(jì)，所以我們喜歡以真實(shí)世界的表達(dá)方式來(lái)談?wù)撜鎸?shí)的世界，不是以你常在教科書上看到的線條藝術(shù)或是插圖藝術(shù)來(lái)表達(dá)。

我們出去外面對(duì)實(shí)物照一張相，現(xiàn)在我們有了真實(shí)的東西，它要多長(zhǎng)時(shí)間裝滿？更好的，我們用影片記錄填加水的過(guò)程。它在慢慢的裝滿，令人不耐煩的等待。這很乏味，學(xué)生們?cè)诳此麄兊谋?，臉上都有某程度的疑惑，他們時(shí)不時(shí)地想，“伙計(jì)，這個(gè)要多長(zhǎng)時(shí)間裝滿啊？”（笑聲）各位就知道學(xué)生們是怎么被我騙上鉤的。這就是你想要引起關(guān)注的地方。

由這個(gè)問(wèn)題產(chǎn)生許多我認(rèn)為很有趣的現(xiàn)象。就像我在開(kāi)頭時(shí)所說(shuō)，因?yàn)槲覜](méi)有經(jīng)驗(yàn)，我所教都是哪些最需要矯正的幼兒，他們有的不愿意加入討論，是因?yàn)閯e人有解題的公式，別人比他更了解解題的公式，所以我不討論這個(gè)。 

但在這里，每個(gè)人都在同一個(gè)水平上運(yùn)用直覺(jué)。每個(gè)人都裝過(guò)水，所以我讓孩子們自己回答這個(gè)問(wèn)題：多長(zhǎng)時(shí)間裝滿水。

我讓這些在數(shù)學(xué)上和交談上感到恐懼的孩子們也加入談?wù)?。我把他們名字寫到黑板上，指定他們?lái)猜，所以學(xué)生就被帶入情境，然后依據(jù)我前面描述的過(guò)程去做。這樣做最妙的地方，或是比較優(yōu)的地方就是，我們沒(méi)有從教師版教科書的后面得到答案。我們只要將影片一直看完。（笑聲）

這很有意思，對(duì)吧。因?yàn)樵诮處煱娼炭茣竺娴慕忸}提要，理論的公式總是管用的。這很好，但是當(dāng)理論和實(shí)際情況不吻合，產(chǎn)生了錯(cuò)誤時(shí)就會(huì)引起驚慌。但那些討論是如此珍貴，也是最有價(jià)值的。

我在這里報(bào)告一些很有趣的教學(xué)心得，我的學(xué)生第一天到教室時(shí)，學(xué)生帶有這些預(yù)置的錯(cuò)誤征兆。這些孩子現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)了一個(gè)學(xué)期，他們變成了這樣，我能在黑板上寫下一些全新的，完全陌生的問(wèn)題，他們能就此展開(kāi)討論，這比他們?cè)趯W(xué)年開(kāi)始的時(shí)候長(zhǎng)了3、4分鐘，作共同討論。

這真有意思，孩子們不再反感數(shù)學(xué)問(wèn)答題，因?yàn)樗麄儚男露x了數(shù)學(xué)問(wèn)答題。孩子們不再恐懼?jǐn)?shù)學(xué)，因?yàn)槲覀儠?huì)慢慢地重新定義該情境的數(shù)學(xué)涵義是什么。這個(gè)過(guò)程很有意思。

我鼓勵(lì)數(shù)學(xué)教師多多應(yīng)用多媒體，因?yàn)樗颜鎸?shí)世界以高清晰度的圖片和全色彩圖像帶到你的教室，用公平方式鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用直覺(jué)，盡可能問(wèn)最簡(jiǎn)短的問(wèn)題。讓那些更細(xì)、更具體的問(wèn)題隨著交談顯露出來(lái)，讓學(xué)生們著手解決問(wèn)題。正如愛(ài)因斯坦所說(shuō)那樣。

總而言之，就是給予更少的幫助，因?yàn)榻炭茣谝苑浅ｅe(cuò)誤的方式幫助大家。它在免去大家對(duì)耐心問(wèn)題的解決和數(shù)學(xué)推理的責(zé)任，更沒(méi)有幫助性。

為什么現(xiàn)在正是作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師的絕好時(shí)候，因?yàn)楝F(xiàn)在有工具可以創(chuàng)造高品質(zhì)且可攜帶于口袋的教材。它無(wú)所不在，也非常便宜。還有自由散播它的工具，在公開(kāi)授權(quán)下，從沒(méi)有比現(xiàn)在更便宜或更普遍的社交互聯(lián)網(wǎng)工具。

不久之前，我把一系列的錄像放在我的博客里，在兩周之內(nèi)它得到6000的觀看率，我還收到很多我從來(lái)沒(méi)有去過(guò)的國(guó)家的郵件，有的教師寫郵件說(shuō)：“哦，是的。我們確實(shí)用這個(gè)與學(xué)生有很好的對(duì)話。順便說(shuō)一下，我有改進(jìn)你教材的妙方，效果真驚人?！?/p>

我最近在我的博客上提出了下面這個(gè)問(wèn)題：“在一家雜物店，你要排哪一個(gè)結(jié)賬柜臺(tái)，一個(gè)是排在只有一輛購(gòu)物車，但里面有19件商品的后面，另一個(gè)排在有4輛購(gòu)物車，但上面各有3、5、2 和1件商品的后面?！?/p>

這里牽涉到的線性模型，它成為了我的教學(xué)中很好的材料，因?yàn)樗?，我?guī)仔瞧谇吧狭恕霸绨?，美?guó)”的節(jié)目，答案超乎一般想象，對(duì)吧。

從所有這些，我得到一個(gè)結(jié)論就是，不僅僅是學(xué)生，一般人也很渴望這些內(nèi)容。數(shù)學(xué)彰顯真實(shí)世界的合理性，數(shù)學(xué)也是描述人們直覺(jué)的詞匯。所以我鼓勵(lì)大家，無(wú)論你在教育上的角色是什么，不管你是學(xué)生，還是家長(zhǎng)，老師，決策者，不論是什么，請(qǐng)堅(jiān)持更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)教材，我們需要更多耐心的問(wèn)題解決者。謝謝。

本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號(hào)“星教師”，作者Dan Meyer，編輯陳薇。文章為作者獨(dú)立觀點(diǎn)，不代表芥末堆立場(chǎng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系原作者。