上周和朋友們聊天，講起各自家中小娃學(xué)數(shù)學(xué)的事，瞬間點燃了大家的歡樂之源，同時也讓同有人生迷茫之感的老父親老母親找到了戰(zhàn)友，在交流各自戰(zhàn)斗經(jīng)驗的過程中，我們共同體會到：教自家娃學(xué)數(shù)學(xué)是一種坎坷經(jīng)歷，能體會到各種世事之艱難，人間之不值，實在是一場令人激動的修煉。

交流中，大家普遍的困惑在于：孩子學(xué)數(shù)學(xué)，很多時候看似明白了，但只要過一段時間就會遺忘，或者換一種形態(tài)就迷惑了。換言之，就是孩子對數(shù)學(xué)的理解非常之膚淺，觸及不到數(shù)學(xué)的核心結(jié)構(gòu)，而家長也缺乏方法幫助孩子擴展對數(shù)學(xué)理解的廣度和深度，使得孩子的學(xué)習(xí)在淺層徘徊。

另一個困境在于，數(shù)學(xué)是對思維的探究和淬煉，但思維是無形的，教學(xué)往往只能從問題出發(fā)，最終又回歸問題解答來驗收學(xué)習(xí)效果，結(jié)果很容易丟失學(xué)習(xí)的實質(zhì)，忽略理解的過程，最后大家都盯著題目，所以刷題式的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越來越低齡化，因為大家看不到第二條路。

但是，所有學(xué)習(xí)中孩子沒有搞清楚的細小問題，并不會隨著年齡增長自然消失，最后都會匯聚起來，在某些階段集中爆發(fā)，可能是在學(xué)習(xí)加減運算的階段，或者在學(xué)習(xí)混合運算的階段，亦或者在應(yīng)用題上。當(dāng)在刷題學(xué)習(xí)中掩蓋的隱形問題上升為顯性問題，老父親和老母親的硬核游戲就此展開一段精彩刺激的歷程。

所以，每一個孩子暴露出來的數(shù)學(xué)顯性問題，都必定有一個隱藏的思維關(guān)卡被忽略，沒有通關(guān)。如果我們真正想治標治本，或許我們可能就要放慢腳步，退一步去尋找孩子思維上的原因。

正如莎倫.格里芬在《學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的》叢書中所言：“獲得對數(shù)的理解是一個漫長、漸進的過程?！?/strong>

慢，有時并不是問題，不理解才是。

被忽略的思維關(guān)卡造成了怎樣的障礙？

記得有一次，我和我父親在聊天時我對著他叫了一聲“爸爸”，當(dāng)時還在上中班的大娃聽到了，眼睛瞪得賊圓，劈面斧正道：“不對，那是爺爺，不是爸爸，你才是爸爸！”所言之理直氣壯，令人呵呵。

從那天開始，我就開始天天給他放一首兒歌，就是現(xiàn)在各大商場門口搖搖椅上的經(jīng)典歌曲：“爸爸的爸爸是爺爺，爸爸的媽媽是奶奶……”雖然后來他已經(jīng)把這首兒童背的滾瓜爛熟，但是并沒有什么用——他依然認為我喊我爸叫爸爸是不對的，要喊爺爺，并且言之灼灼：“爸爸的爸爸是爺爺嘛，你應(yīng)該喊爺爺”。

這使得我家的輩分一度發(fā)生量化寬松。

這是在家里。到了外面，孩子的社會性往往表現(xiàn)出這樣的情景：兩個小朋友搶一個玩具，雙方都非要那個被爭奪的玩具，老師就算再拿一個完全一樣的玩具來，也不一定會和解。

這些現(xiàn)象背后隱藏的思維問題到底是什么呢？

根據(jù)教科書的解釋，這叫幼兒的思維缺乏靈活性，常常會認死理。究其原因，是因為孩子對真實世界的經(jīng)驗相對較少，對各種模式關(guān)系了解的不夠造成的。事實上，孩子在很長的一段時間內(nèi)，無法理解相對性的概念，以及事物的多樣性。

而那么這種相對思維的關(guān)卡，在數(shù)學(xué)的啟蒙上又會造成怎樣的障礙呢？我們往往忽略掉的又是什么？

數(shù)學(xué)思維中存在著大量的相對思維、辯證思維，抽象思維則是數(shù)學(xué)思維的核心部分。而相對性思維的發(fā)展不足，會阻礙孩子理解事物在兩個維度上的同時變化，進而影響孩子抽象思維的發(fā)展。

我們?nèi)菀缀雎缘氖?，思維有的時候很難隨著自然生長而自動進化，或者說，生理上的因素只是給了我們提供了基礎(chǔ)條件，但建構(gòu)思維需要一些激發(fā)，以及思考的持續(xù)練習(xí)。從建構(gòu)思維大廈的角度來說，沒有一種思維是可以憑空建立的，需要有思維的層層奠基。

讓我們來看一個實際的案例，講一道大家耳熟能詳，已經(jīng)被講爛掉的數(shù)學(xué)題——雞兔同籠。從另一個角度來說，這道被講爛的題目又可能是我們幾代人的共同噩夢。

籠子里一共關(guān)著8只雞和兔，籠子下面露出20只腳，請問雞和兔各有幾只？

雞兔同籠問題為什么成為經(jīng)典數(shù)學(xué)題，歷經(jīng)一千多年而不衰？除了數(shù)學(xué)方程意義上的價值之外，更重要的方面在于這道題體現(xiàn)了兩種量的同時變化——雞和兔，頭和腳。

雞兔腦袋的數(shù)量是合并出現(xiàn)的，腳的數(shù)量也是合并出現(xiàn)的，我們沒有辦法立即去確定其中任何一方的數(shù)量，導(dǎo)出另一方的數(shù)量，這使得我們的大腦產(chǎn)生了很大的困擾，我們需要設(shè)計新的大腦路徑去思考這個問題。

首先我們需要接受數(shù)量是會相對變化的這一現(xiàn)實，然后在這種相對變化中，運用想象營造出一種確定性去替換這種相對性，慢慢找出一條新的路徑，在這個過程中，大腦會非常的不適應(yīng)，但這正是需要我們?nèi)タ朔摹?/p>

在變化中，尋找不變的因素，運用想象構(gòu)建一種新平衡。所以有人想出了換元法：想象把所有的兔子都換成雞。又有人想出了砍腳法：想象把所有的兔子腿都砍下兩只（可愛的兔兔怎么忍心下得了手？！）。

其實具體什么方法并不重要，重要的是在找尋方法、或者理解方法的過程中，我們認識到事物的兩維變化，所以用矩形的長寬兩維變化來表征問題中的頭數(shù)與腳數(shù)，能更直觀的讓我們理解究竟發(fā)生了什么。

這樣的兩維變化，實質(zhì)上就是相對性思維的體現(xiàn)，對我們思維的辯證性提出了挑戰(zhàn)。其實不只是孩子，即便很多成年人也依然存在理解障礙。其實質(zhì)在于我們的大腦傾向接受確定性的結(jié)論，不太能接受相對和變化。換一種說法，大腦的底層本質(zhì)是一個記憶工具，思維功能是后天慢慢建構(gòu)、不斷磨礪才能熟練應(yīng)用。

我們有沒有解決之道？

關(guān)于相對性的思維難關(guān)，我之前也和其他家長分享過，有家長跟我反饋說：“夏老師，我仔細把這個問題放到我家孩子身上想了一遍，估計他是明白不了這個相對性的，你有米有啥子方法可以很快讓孩子理解呢？”

數(shù)學(xué)從學(xué)科角度來看，是反人性的。這個反人性沒有任何貶義的意思，而是數(shù)學(xué)思維不是遵循人類的常規(guī)思維往前推進的學(xué)科，是另辟蹊徑、精細分析的思維產(chǎn)物。同時，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，可以看作是對我們思維的磨礪，既說是磨礪，自然是有跡可循，卻無捷徑可言。

就拿“爸爸的爸爸是爺爺”這個例子而言，孩子最后是怎么理解這個情景中相對性的問題呢？當(dāng)他去到別的同學(xué)家里，發(fā)現(xiàn)他們同學(xué)的爸爸也在喊爺爺爸爸，甚至身邊的長輩也在喊父輩爸爸，最后他發(fā)現(xiàn)在他身邊遇到的所有的人都是這樣，這樣他就會生出一種反思——之前的想法是不是有問題？

我們把這種思維上因矛盾沖突形成的反思稱為元認知，而這種元認知的啟動，需要建立在孩子的經(jīng)歷增多的基礎(chǔ)之上。

同樣的，學(xué)數(shù)學(xué)也是如此。孩子需要積累大量的相對性感性經(jīng)驗，才可能開始理解抽象性和相對性。

讓我從孩子最早期認識數(shù)量的階段開始講起：

1、2、3、4、5、6、7這些數(shù)字的本質(zhì)并不是冷冰冰的符號，在它們的背后是實實在在存在著的物體數(shù)量，所以從這個角度來說，數(shù)學(xué)并不是一本關(guān)于數(shù)字的學(xué)問，而是關(guān)于數(shù)量的學(xué)問。

數(shù)字用了一種比日常語言（諸如：很多，一點，更多之類）更為精確的表述方式來表達數(shù)量，但是數(shù)字對數(shù)量的表達又是相對和抽象的，比如5這個數(shù)字，就不是絕對的表達為5個蘋果，而是可以表達任何關(guān)于5數(shù)量的事物，這就呈現(xiàn)出一種事物的多樣性，多樣性歸結(jié)于一個數(shù)字5，顯示出來的是5這個數(shù)字的抽象性。

所以這里的認識邏輯是：認識多樣性——感受相對性——產(chǎn)生抽象性。

如果孩子沒有認識到5這個數(shù)字可以表達了多樣性事物的具體數(shù)量，比如孩子只認為“5”就是五個蘋果的絕對表達，那么在后面的階段學(xué)習(xí)中，他就很難理解5筐蘋果，每筐5個的相對變化，進而對乘法中兩個維度的變化無法理解。

很多孩子在學(xué)習(xí)乘法提取公因式中常常會犯一個錯誤，他們會把：3×7+2×3+3轉(zhuǎn)化成3×（7+2+3），沒有發(fā)現(xiàn)最后一項“3”其實是“1個3”可以轉(zhuǎn)換成“1×3”，本質(zhì)上就對數(shù)字表達內(nèi)涵的多樣性、相對性沒有充分的理解。

家長要在孩子早期認識數(shù)字的時候，就能夠充分地幫助他去發(fā)現(xiàn)生活中數(shù)字的不同內(nèi)涵，更重要的是在分類后，幫助他發(fā)現(xiàn)在不同層次的事物中，數(shù)字都能表達數(shù)量，那么孩子就會獲得最大量的數(shù)量多樣性的經(jīng)驗樣本，對孩子相對性思維、辯證邏輯、抽象性思維的萌發(fā)有著很重要的意義。

比如“5”，可以用來表達5個人，進而可以表達5個男人、5個女人、5個老人或5個小孩，那么，孩子在“人”這個結(jié)構(gòu)層次上，立體的理解了“5”這個數(shù)量。

再比如“5”也可以表達5次掌聲、5聲喝彩、刮5次鼻子、眨5次眼睛，在這個層面上“5”又代表了非實物或者是動作的數(shù)量，在這個層面上，孩子對抽象性的理解又進了一步。古希臘哲學(xué)說“物理學(xué)之后”，意思就是思維不是眼見，眼見只是虛像，這樣的思緒直接帶出了抽象邏輯觀念。

進而，我們還可以讓孩子去感受“5”個音符、“我想吃蘋果”是“5”個字，“5”句祝福的話，甚至5個5等等。在字符符號等更抽象的層面感知“5”這個數(shù)量。這樣又使得孩子對抽象的認識有了更深的感性積累。

十九世紀歐洲算術(shù)書有一首古老的歌謠：

我赴圣地愛弗西

途遇婦女?dāng)?shù)有七

一人七袋手中提

一袋七貓數(shù)整齊

一貓七子緊相依

婦與布袋貓與子

幾何同時赴圣地

無獨有偶，這樣數(shù)量分組包含、階乘的結(jié)構(gòu)形式，在安野光雅的《壺中的故事》繪本中也得到了充分的體現(xiàn)：

一個壺里有一片海；海上有1個小島；島上有2個國家；2個國家里各有3座山；3座山上各有4座城堡；4座城堡里各有5個村莊；5個村莊里各有6棟房子；6棟房子里各有7間房間；7間房間里各有8個柜子；8個柜子里各有9只箱子；9只箱子里各有10個壺；最后算一下有3628800個壺。

這都很好的體現(xiàn)出數(shù)字代表量的相對性和抽象性，不妨念給孩子聽聽，問問他們的感受。

當(dāng)然，如果僅僅是用上面列舉的那些方法，讓孩子去感知生活中數(shù)代表的實際數(shù)量的情形，還是遠遠不夠的，這種單項的輸入模式并不能確保孩子能夠主動建構(gòu)出對數(shù)量多元的認識，需要有孩子主動的輸出，也需要成年人幫助孩子進行總結(jié)。這里提兩個比較重要的方法：

第一、孩子需要進行數(shù)量的“轉(zhuǎn)換表征”。

第二、成年人需要向孩子展示數(shù)表征的主要形式。

• 轉(zhuǎn)換表征

先說說“轉(zhuǎn)換表征”，這什么意思呢？簡單的說，就是一種關(guān)系的對應(yīng)比喻，比方說：我們孩子去幼兒園，有時候老師會給孩子貼笑臉，笑臉代表孩子在某些行為符合要求，一個笑臉就代表符合一次要求，這就可以看做是一種表征。

或者我們?nèi)ビ螛穲@，玩好回家，請孩子數(shù)一數(shù)還有多少個代幣沒用掉。當(dāng)然孩子可以用數(shù)字來表達，告訴我們還剩10個代幣等等，但是這不是表征，只是單純的計數(shù)，轉(zhuǎn)換表征是要孩子用另一種方式來比喻，比方說畫10個點點代表還剩10個代幣，或者撕10張便簽紙代表10個代幣等等。

這種方法，從本質(zhì)上是讓孩子對數(shù)量多樣性認識的一種應(yīng)用，或者說是一種表征的練習(xí)，如果再進一步，就接近數(shù)據(jù)統(tǒng)計了，也能從中生發(fā)出一些推理和分析，比如誰多誰少之類的問題。

• 成年人需要向孩子展示數(shù)表征的主要形式

這指的是：孩子在一開始進行數(shù)量表征的時候，往往采用的方式是用一樣實物來表征另一樣實物，比如用6塊積木代表家里的6個人，但是慢慢的，對孩子思維的要求要提升，我們就需要給孩子呈現(xiàn)一些更為抽象的表征方式，比如前面說的用“點”來表示，也就是用“圖像”等等。

一般來說，從易到難，我們成人能夠向孩子展示的主要表征方式包括：

• 實物的表征

• 圖像的表征

• 線表征（數(shù)軸或棋盤中的步數(shù)）

• 柱狀圖表征

• 刻度盤的環(huán)形表征

這樣多樣式的表征展示，其目的在于幫助孩子建立表征的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，讓孩子對數(shù)量的表征能夠變的更多維和豐富，從而使得對數(shù)的相對性及抽象性理解的更充分。

當(dāng)然，上述的不同表征類型不是一下子全部展示給孩子的，而是應(yīng)該在孩子的表征活動過程中，慢慢向孩子揭開畫卷，并且要讓孩子在活動中使用的。

最后說兩句，回到我們今天所聊的主題：孩子數(shù)學(xué)啟蒙中的一個隱藏思維關(guān)卡——思維的相對性。以上說的內(nèi)容也只是相對性思維解鎖的一個方面，除了數(shù)量的深入認識之外，兒童在高矮、長短、寬窄等物體量的相對性認識，以及對多項比較時候的相對性（比如大中小的比較排序，等量代換等內(nèi)容）上，也存在需要攻克的思維難關(guān)，需要更多的活動去支撐孩子們理解。

而在這些基礎(chǔ)的認知完成后，當(dāng)孩子進入運算的認識，依舊還面臨相對性問題的挑戰(zhàn)。

比如在加法的學(xué)習(xí)中，理解數(shù)量合并的加法比較容易，如小明有3只蘋果，花花又給了他1顆，小明一共有多少顆蘋果？對這樣的問題，孩子很快能夠理解3+1=4。但是在相對性的比較問題面前，同樣是加法，孩子就較難理解：比如小明有2顆蘋果，花花比小明多3顆，問花花一共有多少顆？

所以還是這句話，數(shù)學(xué)題的答案容易獲得，但思維的養(yǎng)成非一日之功，在一個數(shù)字或一個算式背后，隱藏著非常豐富的內(nèi)涵，如果我們把數(shù)學(xué)僅僅看作是一種結(jié)論或固定的解答程序，我們就無法真正認識它。

這種無法認識，指的不僅僅是數(shù)學(xué)，更是對這個多變復(fù)雜的世界，那些包含無限可能性的萬物的多重變化的不可知，而數(shù)學(xué)，在這種流變的不確定之中，給我們提供了一種認識真實的穩(wěn)定可能。

只不過對我們的孩子而言，需要成人用持續(xù)的耐心，來幫助他們解鎖那隱藏思維關(guān)卡中的智慧閃光。

本文轉(zhuǎn)載自微信公眾號“外灘教育”，作者夏駿軼。文章為作者獨立觀點，不代表芥末堆立場。