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自適應(yīng)學(xué)習(xí)（adaptive learning）的概念在國內(nèi)甚是火熱，教育創(chuàng)業(yè)公司的BP里不寫個(gè)“大數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的自適應(yīng)學(xué)習(xí)”都不好意思跟投資人打招呼。它既有現(xiàn)代“大數(shù)據(jù)”+“機(jī)器學(xué)習(xí)”的炫酷外衣，又暗合儒家傳統(tǒng)中“因材施教”的內(nèi)家功夫，豈有不火的道理。

但是究竟什么是自適應(yīng)學(xué)習(xí)系統(tǒng)？怎么做個(gè)性化學(xué)習(xí)推薦？不僅許多教育創(chuàng)業(yè)公司的公關(guān)文語焉不詳，行業(yè)內(nèi)領(lǐng)先的個(gè)性化學(xué)習(xí)服務(wù)提供商也諱莫如深[1][2]。本文試圖以平易近人的方式來演繹這兩個(gè)問題的答案。之所以說是“演繹”，一方面是因?yàn)槲恼聻樘岣呖勺x性而犧牲了嚴(yán)謹(jǐn)性，各位專家請(qǐng)勿較真。另一方面，諸位看官若自己讀出業(yè)界奧秘，我不得不聲明“本文內(nèi)容純屬虛構(gòu)，如有雷同，純屬見鬼”。

言歸正傳，作為教學(xué)行業(yè)的有為青年，在這個(gè)萬眾創(chuàng)業(yè)的大潮之中，你也躍躍欲試。你準(zhǔn)備把個(gè)性化教育推薦作為創(chuàng)業(yè)方向。于是你找來在淘寶這個(gè)中國最成功的推薦系統(tǒng)（之一）中浸淫多年的好兄弟陶小二叫來一起商議。

萊布尼茨1.0版本：隱狀態(tài)的推斷

陶小二說，讓我們從基礎(chǔ)開始。假設(shè)有個(gè)親在我店里買了一件“歡樂頌安迪同款連衣裙”，我該怎么為用戶推薦下一個(gè)產(chǎn)品？首先我猜測(cè)這個(gè)親是“歡樂頌安迪”的粉絲，因此可以向她推薦其他“歡樂頌安迪”的服飾。這個(gè)親是不是“歡樂頌安迪”的粉絲并不能被你觀察到，而是一個(gè)不可見的潛在狀態(tài)，稱之為隱變量（Latent state）。但是我們可以觀察到她的購買行為，這是顯示行為（observedbehavior）。通過顯示行為來猜測(cè)隱變量的取值，就是推斷（inference）。推斷用戶的偏好，并加以利用，是推薦算法的內(nèi)核。

于是你想到，1.0的萊布尼茨系統(tǒng)應(yīng)該具備通過題目推斷知識(shí)點(diǎn)掌握程度的能力。一個(gè)學(xué)生做錯(cuò)了一道一元二次方程求根的題。我們應(yīng)該在這個(gè)知識(shí)點(diǎn)上推薦更多的題。盡管學(xué)生對(duì)于“一元二次方程求根公式”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度是不可觀測(cè)的隱變量，但是學(xué)生做題的結(jié)果是可以觀測(cè)的顯示行為。如果能通過做題結(jié)果判斷學(xué)生薄弱知識(shí)點(diǎn)，那么就可以有針對(duì)性的推薦學(xué)習(xí)內(nèi)容。

但是這也意味著一個(gè)知識(shí)點(diǎn)下要儲(chǔ)備相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，這些題目哪里來？是不是要考慮針對(duì)各地考試風(fēng)格差異化？是不是考慮題目的教學(xué)價(jià)值和用戶體驗(yàn)？這么粗的大腿要去哪兒抱呢？抱不到大腿，線上扒題，會(huì)不會(huì)因?yàn)榘鏅?quán)問題被告的內(nèi)褲都賠掉？

萊布尼茨2.0版本：基于知識(shí)圖譜的推薦

正當(dāng)你苦思不得解之時(shí)，陶小二繼續(xù)侃侃而談：我進(jìn)一步猜測(cè)這個(gè)親可能是劉濤粉，因此可能粉劉濤演的其他影視作品，我可以向她這些劇的同款。當(dāng)然我還可以猜測(cè)這個(gè)親是歡樂頌粉，因此可能粉歡樂頌其他角色，我可以向她推薦這些角色中的同款。如果我構(gòu)建的“知識(shí)圖譜”是靠譜的，用戶的確有愛屋及烏的行為模式，那么即使沒有這個(gè)親在這些款式上的搜索數(shù)據(jù)，也可以進(jìn)行有效的偏好推斷。推薦系統(tǒng)的核心優(yōu)勢(shì)在于理解用戶的消費(fèi)行為模式[3]，從而見微知著，洞察人心，無中生有。

你想此言甚是。假設(shè)我們構(gòu)建的知識(shí)圖譜中“一元二次方程的一般形式”是“一元二次方程求根公式”的前置知識(shí)點(diǎn)，“一元二次方程根的個(gè)數(shù)”是它的后置知識(shí)點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生做錯(cuò)了一元二次方程求根的問題，可以猜測(cè)是否其前置知識(shí)點(diǎn)出了問題，因此應(yīng)該推薦以便于診斷；當(dāng)學(xué)生做對(duì)了一元二次方程求根的問題，可以猜測(cè)是否其后置知識(shí)點(diǎn)也已經(jīng)掌握，因此應(yīng)該推薦以便于鞏固。做錯(cuò)時(shí)沿著知識(shí)圖譜向上游推薦，做對(duì)時(shí)沿著知識(shí)圖譜向下游推薦，聽上去似乎很美[4]。

但是如何知道這個(gè)知識(shí)圖譜是正確的？求根公式是不是可以繼續(xù)被切分成“根的判別式”和“一元二次方程的根”兩個(gè)小知識(shí)點(diǎn)？正確使用求根公式需要分類討論的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想應(yīng)不應(yīng)該被列入“知識(shí)圖譜”？求根公式的計(jì)算需要“開根運(yùn)算”，求根公式的推導(dǎo)需要“配方法解方程”，這些是不是應(yīng)該列為前置知識(shí)點(diǎn)？知識(shí)圖譜的粒度、廣度和連接度看上去是一個(gè)深不見底的天坑[5]。

萊布尼茨3.0版本：建立內(nèi)容和知識(shí)圖譜的拓?fù)潢P(guān)系

當(dāng)你又陷入苦思時(shí)，陶小二一拍大腿說，壞了，之前我只看見了“歡樂頌安迪同款”，而完全忽略“連衣裙”這個(gè)關(guān)鍵詞。增加了這個(gè)新關(guān)鍵詞后，可能有兩種改進(jìn)方向：第一，假如這個(gè)親并不是任何粉，只是想買一條連衣裙，兩個(gè)關(guān)鍵詞對(duì)應(yīng)到這個(gè)產(chǎn)品的關(guān)系是“或”：因此，推薦中應(yīng)該增加其他與歡樂頌無關(guān)的連衣裙產(chǎn)品。第二，假如這個(gè)親既是粉，又想買一條連衣裙，兩個(gè)關(guān)鍵詞對(duì)應(yīng)到這個(gè)產(chǎn)品的關(guān)系是“與”：因此，推薦中應(yīng)該高亮既是歡樂頌安迪同款又是連衣裙的產(chǎn)品。

你砸吧了一下陶小二的話，不禁心里叫一聲“苦也”。這意味著萊布尼茨3.0版本不僅要正確繪制知識(shí)圖譜，而且要正確地建立內(nèi)容和知識(shí)圖譜的拓?fù)潢P(guān)系[6]；這事兒可不好辦。你回想了一道一元二次方程的簡單應(yīng)用題：

假設(shè)籬笆總長10米，一面靠墻，圍成菜園的面積是12平米；這個(gè)菜園的長是多少？

這題的知識(shí)點(diǎn)可以被標(biāo)注為長方形面積+一元二次方程的求根公式。但是，這題也可以用因式分解來解答。因此，這題的知識(shí)點(diǎn)打法也可以是長方形面積+因式分解求根。這兩種解法內(nèi)部是乘法關(guān)系（即必須都掌握才能解出這道題），兩種解法之間是加法關(guān)系（掌握至少一種就可以解出這道題）[7]。此外，可能出現(xiàn)學(xué)生三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的計(jì)算都沒有問題，但是在這道題上就是不能夠把問題表述為一個(gè)一元二次方程：數(shù)學(xué)建模的能力應(yīng)該如何標(biāo)記？[8]

尾聲：萊布尼茨的誕生

和陶小二商談得越久，你越覺得做一個(gè)靠譜的個(gè)性化學(xué)習(xí)推薦系統(tǒng)實(shí)在太不靠譜了。正當(dāng)你為此神傷時(shí)，隔壁王大爺朗聲道：傻小子，學(xué)習(xí)推薦這事兒還不好做；不是太難，不是太容易，不就完了么！你一聽，如夢(mèng)方醒。陶小二這套，家長那兒說不清，投資人那兒聽不懂，怎么搞錢。王大爺大道至簡，大智若愚，真是一語道破天機(jī)！

當(dāng)媒體記者在你融資成功的發(fā)布會(huì)上問你這款以知名數(shù)學(xué)家命名的個(gè)性化學(xué)習(xí)產(chǎn)品的魅力何在時(shí)，你淡淡地說：

我們采用美國ETS的成熟技術(shù)[9]，對(duì)于海量教育大數(shù)據(jù)進(jìn)行深度挖掘，為用戶提供了難度適宜的精準(zhǔn)教育學(xué)習(xí)服務(wù)。

記者聞之，臉上露出了既迷茫又尊敬的神色。

[1]唯一例外的是在國內(nèi)默默無名卻被麥格勞希爾高價(jià)收購的ALEKS（Adaptive LEarning Knowledge Space）。這個(gè)系統(tǒng)早在1990年左右就公布了其核心技術(shù)的概要，在2000年就基本披露其技術(shù)的實(shí)現(xiàn)和存在的問題。Khan Academy有一段時(shí)間開源了其代碼，其核心人員也披露了早期的測(cè)評(píng)技術(shù)方案，但是KA的自適應(yīng)主要靠用戶自選，而不是算法推薦

[2]萊布尼茨的對(duì)頭的白皮書是可以Google/Bing得到的，但它并沒有介紹實(shí)質(zhì)性的技術(shù)細(xì)節(jié)。

[3]事實(shí)上商業(yè)推薦系統(tǒng)一般不基于知識(shí)圖譜做關(guān)聯(lián)推薦。關(guān)聯(lián)推薦最常見的是基于物品特征的關(guān)聯(lián)推薦以及基于用戶行為的關(guān)聯(lián)推薦（例如買了物品A的還買了物品B）。這里為了劇情需要，強(qiáng)行拉郎配了。

[4]事實(shí)上在Probabilistic Graph Model中，假定正確的結(jié)構(gòu)，節(jié)點(diǎn)上下游的隱變量的后驗(yàn)狀態(tài)都可以改變，而不局限于做錯(cuò)推上游，做對(duì)推下游的邏輯。這個(gè)推薦邏輯結(jié)合了教學(xué)方法。

[5]知識(shí)表達(dá)(Knowledge Representation)是一個(gè)單獨(dú)的研究領(lǐng)域，已經(jīng)有前人做了相當(dāng)深入的研究。但是在學(xué)習(xí)領(lǐng)域，知識(shí)圖譜是否普世，是否可以不依賴于單純的專家系統(tǒng)，都是懸而未決的問題。從實(shí)踐來看，即使是萊布尼茨的死對(duì)頭創(chuàng)制的知識(shí)圖譜，也未能盡如人意。

[6]萊布尼茨的死對(duì)頭事實(shí)上不解決拓?fù)潢P(guān)系問題，主要是大洋彼岸的題目在知識(shí)點(diǎn)整合上不如大陸這般喪心病狂

[7]在默認(rèn)長寬是整數(shù)的前提下，可以使用窮舉法，跳過一元二次方程的相關(guān)知識(shí)！

[8]正確標(biāo)記拓?fù)潢P(guān)系對(duì)于精確估計(jì)學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)掌握程度至關(guān)重要。這里涉及到復(fù)雜的數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)，我們只舉一個(gè)最簡單的例子。假設(shè)一個(gè)題目被標(biāo)記為知識(shí)點(diǎn)A和知識(shí)點(diǎn)B的乘法原理，我們知道學(xué)生在這道題上的正確率是16%。那么可能有兩種推斷：知識(shí)點(diǎn)A掌握程度是80%和知識(shí)點(diǎn)B掌握程度是20%，知識(shí)點(diǎn)A掌握程度是20%和知識(shí)點(diǎn)B掌握程度是80% 。盡管這兩種推斷是等效的（observational equivalent），但是它們的教學(xué)含義差別極大。

當(dāng)然，知識(shí)點(diǎn)A和B的具體掌握程度可以用多道知識(shí)點(diǎn)結(jié)構(gòu)不同的題目來交叉推斷，但是從實(shí)際操作層面來講，這就增加了更多不確定性：所有題目的知識(shí)點(diǎn)要標(biāo)記準(zhǔn)確，其拓?fù)浞绞揭惨獦?biāo)記準(zhǔn)確，一個(gè)學(xué)生完成了足夠多的多樣化的題目來確保參數(shù)估計(jì)的收斂。

[9]我并不認(rèn)為IRT本身是一個(gè)劣于PGM的技術(shù)。恰恰相反，從測(cè)評(píng)的角度出發(fā)，我認(rèn)為IRT是一個(gè)在建模上更為精煉，在估計(jì)上更為精確，在實(shí)踐中更為有效的技術(shù)。黑一下IRT，是因?yàn)楹芏嘞到y(tǒng)在IRT技術(shù)上至少晚ETS20年，一些系統(tǒng)可能要晚30年。關(guān)于IRT在教育測(cè)評(píng)領(lǐng)域運(yùn)用的一個(gè)全面介紹和嚴(yán)謹(jǐn)評(píng)價(jià)，請(qǐng)參見：

https://www.ets.org/research/policy_research_reports/publications/report/2013/jrmd

本文轉(zhuǎn)載自愛行知，作者馮俊晨