芥末堆芥末堆

孩子學(xué)數(shù)學(xué)是一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng),是因?yàn)槟悴恢肋@些痛點(diǎn)

作者:趙晴 發(fā)布時(shí)間:

孩子學(xué)數(shù)學(xué)是一場(chǎng)戰(zhàn)爭(zhēng),是因?yàn)槟悴恢肋@些痛點(diǎn)

作者:趙晴 發(fā)布時(shí)間:

摘要:一個(gè)不敢自由提問(wèn)的孩子+被知識(shí)詛咒了的父母,這個(gè)組合的結(jié)果一定是天怒人怨的。

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圖片來(lái)源:Cel Lisboa on Unsplash

本文經(jīng)微信公眾號(hào)“成長(zhǎng)合作社”授權(quán)轉(zhuǎn)載。

因?yàn)槲业膶I(yè)背景是數(shù)學(xué)教育,每次回國(guó),都會(huì)被自己的親姐提前預(yù)約.

“你至少拿出一天給LL補(bǔ)補(bǔ)數(shù)學(xué)??!”。LL是我10歲的外甥,正上四年級(jí),跟很多這個(gè)年齡的孩子一樣,不愛寫作業(yè)。平時(shí)好說(shuō),母慈子孝,一家子其樂(lè)融融,一寫作業(yè),特別是數(shù)學(xué),立即雞飛狗跳。

LL爸的數(shù)學(xué)很好,平時(shí)待人接物耐心有禮,屬于情緒十分穩(wěn)定的那類人。但一開始輔導(dǎo)數(shù)學(xué),就進(jìn)入著急上火模式。“這有什么難的!” LL爸想不通,這么簡(jiǎn)單的題目,為什么孩子就是不明白。

給幾個(gè)好朋友講完外甥的事后,大家忍不住回憶起了自己悲慘的童年數(shù)學(xué)往事。其實(shí),不止國(guó)內(nèi)普遍,美國(guó)孩子學(xué)數(shù)學(xué)也存在不少障礙。這些障礙,既源自數(shù)學(xué)比較抽象的特點(diǎn) ,也和孩子的認(rèn)知規(guī)律有關(guān),同時(shí)也和教授者的方式分不開。

事實(shí)上,正是由于成年人無(wú)法體會(huì)孩子學(xué)數(shù)學(xué)的痛點(diǎn),才讓做數(shù)學(xué)作業(yè)這個(gè)看似簡(jiǎn)單的事,成為一場(chǎng)父母和孩子之間的戰(zhàn)爭(zhēng),且不斷升級(jí)。所以,

  1. 數(shù)學(xué)到底難在哪里?

  2. 孩子為什么不喜歡數(shù)學(xué)?

  3. 作為父母又該怎么做呢? 

數(shù)學(xué)難在哪里?

The Curse of Knowledge 知識(shí)的詛咒

知識(shí)的詛咒指的是一種認(rèn)知偏見。意思是說(shuō),掌握了某種技能和知識(shí)的人,無(wú)法體會(huì)未知者的痛苦。1990年,斯坦福的一個(gè)研究生Elizabeth Newton做了一個(gè)簡(jiǎn)單有趣的實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證這一點(diǎn)。

Newton把實(shí)驗(yàn)者分為兩組,讓第1組的人用手敲擊出一個(gè)人們非常熟悉的旋律節(jié)拍,比如《祝你生日快樂(lè)》,然后讓第二組人猜這個(gè)旋律是什么。之后,再讓第1組的人預(yù)估第2組的猜中率。

敲節(jié)拍的一組人認(rèn)為正確率應(yīng)該在80%左右-這么熟悉的旋律,這么簡(jiǎn)單的節(jié)拍,有什么難的?

而事實(shí)上,第二組人猜出旋律的真實(shí)比例僅僅是20%。

當(dāng)成年人氣急敗壞地說(shuō)“這有什么難的!”時(shí)候,不過(guò)是被知識(shí)詛咒了而已。

對(duì)于成年人而言,1+1=2不言自明,沒什么可解釋的。但是這個(gè)簡(jiǎn)單的算式中,其實(shí)包涵了一個(gè)復(fù)雜的認(rèn)知過(guò)程。

孩子最初對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知,基于生活中的“量”,比如一個(gè)蘋果。

最開始,我們拿一個(gè)蘋果放在小朋友面前,告訴他這是1;之后這個(gè)蘋果可能被一個(gè)畫著蘋果的卡片取代;接著卡片也沒有了,變成在紙上畫的一個(gè)蘋果,就像圖中看到的這樣。

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然后突然之間,這些蘋果和蘋果的替代品都不見了,變成了一個(gè)和蘋果沒有任何關(guān)系的阿拉伯?dāng)?shù)字1。至此,一個(gè)實(shí)實(shí)在在的紅蘋果經(jīng)過(guò)幾步演變,成了一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念1。

換句話說(shuō),孩子對(duì)數(shù)字的認(rèn)知過(guò)程里,經(jīng)歷了具體(蘋果)到半具體(印有蘋果的卡片),半抽象(紙上的圖畫)到抽象(阿拉伯?dāng)?shù)字)至少4個(gè)步驟。

對(duì)于成年人來(lái)說(shuō),這個(gè)認(rèn)知關(guān)聯(lián)一步到位,不需要任何解釋。但是這對(duì)小朋友來(lái)說(shuō),這是個(gè)頗為復(fù)雜的過(guò)程,每一步都需要一個(gè)推進(jìn)。

一個(gè)具體的、實(shí)在的紅蘋果,和一個(gè)寫在紙上的1,怎么把這兩個(gè)貌似不相干的東西關(guān)聯(lián)起來(lái),孩子需要在思維中完成一個(gè)巨大的飛躍,從具體上升到抽象。

接下來(lái),當(dāng)孩子開始認(rèn)識(shí)更大的數(shù)字時(shí),他們能不能把一個(gè)抽象的阿拉伯?dāng)?shù)字和它所代表的 “數(shù)量“建立關(guān)聯(lián),這是孩子培養(yǎng)數(shù)感的過(guò)程中非常重要的一步。

舉個(gè)例子來(lái)說(shuō),很多小朋友在剛開始練習(xí)數(shù)數(shù)的時(shí)候,都是12345這樣數(shù)下去。數(shù)得很熟練,跟背英文字母abcd沒什么區(qū)別。

那么,5對(duì)于小朋友來(lái)說(shuō)到底是什么? 僅僅是跟在4后面的那個(gè)數(shù)字嗎?還是代表了比4還大了1的數(shù)量總和? 

了解了知識(shí)的詛咒之后,嘗試著去理解數(shù)學(xué)中從具體到抽象的認(rèn)知飛躍,再加上點(diǎn)同理心,或許成年人就可以慢慢戒掉類似于 “這有什么難的”這樣的話了。

孩子為什么不喜歡數(shù)學(xué)?

在一次課題研究中,我和課題組的同事們接觸到了Amber。她當(dāng)時(shí)是美國(guó)公立學(xué)校一年級(jí)的小姑娘。我們給她出了一道題:16+9等于多少?

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從上面圖中可以看到一個(gè)豎式,這就是典型練習(xí)冊(cè)里的豎式,我們每個(gè)人都不陌生。

Amber很努力地回憶加法的規(guī)則,然后她給出了一個(gè)答案,等于15。我們問(wèn)她,你確定你的答案是對(duì)的嗎? 她確信地點(diǎn)點(diǎn)頭。

接著我們跟她說(shuō),來(lái),我們換一種方式來(lái)計(jì)算。然后,我們拿出幾個(gè)塑料數(shù)字,排成一橫排,16+9=?

 Amber開始心算。美國(guó)小朋友都喜歡往上加,16、17、18、19,加完了之后她跟我說(shuō),是25。

于是我們就問(wèn)她,為什么同樣都是16+9,卻得出了兩個(gè)不同的結(jié)果呢?這兩個(gè)答案是不是都對(duì)呢?

Amber認(rèn)真的思考之后告訴我們,兩個(gè)答案都對(duì)。

我們接著問(wèn),那么在所有情況下,難道這兩個(gè)答案都對(duì)嗎?她想了想說(shuō),都對(duì)。

為什么,小朋友會(huì)堅(jiān)信同一個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)不同的答案呢?

在這里,我們有必要區(qū)分兩種非常重要的數(shù)學(xué)知識(shí),程序知識(shí)和概念知識(shí)。

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Amber在做豎式的時(shí)候,她在使勁回憶豎式的規(guī)則,怎么個(gè)位相加,加完之后如何進(jìn)位。大家都知道,數(shù)學(xué)的規(guī)則特別重要,每個(gè)老師都會(huì)強(qiáng)調(diào)這些計(jì)算步驟,一點(diǎn)都不能搞錯(cuò)。

這種對(duì)于數(shù)學(xué)(運(yùn)算)規(guī)則的理解,我們稱為程序知識(shí)(procedural knowledge)。做豎式,做分?jǐn)?shù)運(yùn)算,在數(shù)學(xué)的方方面面中,程序知識(shí)都是必不可少的。顯然,Amber在記憶這個(gè)規(guī)則的時(shí)候不知什么地方出了問(wèn)題,所以她才得出16+9=15這個(gè)答案。

當(dāng)Amber在回憶16+9的豎式規(guī)則的時(shí)候,她腦子里肯定沒有想著,如果我有16個(gè)蘋果,再加多9個(gè)蘋果,一共會(huì)有多少蘋果?到底這個(gè)“量”的變化會(huì)是多少?她的注意力都在那些對(duì)她而言稀奇古怪的規(guī)則上面。

而當(dāng)我們用塑料數(shù)字拼出一橫排的16+9=?,Amber馬上能聯(lián)想到這其中數(shù)“量”的變化,所以她開始用手指幫忙計(jì)算,一點(diǎn)一點(diǎn)加上去,直到得出25這個(gè)數(shù)字。在加法運(yùn)算中,這種對(duì)于量的變化的知識(shí),我們就稱為“概念知識(shí)”。很顯然,概念知識(shí)是學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)核心。

缺乏概念知識(shí), 就算把公式和規(guī)則背得再滾瓜爛熟,也總有忘記的時(shí)候;而只有充分掌握了概念,知道這些運(yùn)算的規(guī)則是怎么推導(dǎo)出來(lái)的,就算一時(shí)忘了公式也沒什么可怕的,大不了自己重新推導(dǎo)就可以了。

所以Amber的問(wèn)題出在哪兒呢?一方面,她的程序知識(shí)和概念知識(shí)脫節(jié)了。豎式,看起來(lái)多權(quán)威,在她心中,這才是正牌的數(shù)學(xué)。另一方面,15這個(gè)答案違背了她的生活經(jīng)驗(yàn)?,F(xiàn)實(shí)生活中,她的經(jīng)驗(yàn)告訴她,16個(gè)蘋果再增加9個(gè),明明就是25??!于是,她對(duì)此的解釋是,兩個(gè)答案都對(duì)。

這個(gè)例子讓我們這些研究者驚訝的發(fā)現(xiàn),小朋友的心中的數(shù)學(xué)是多么的脫離生活,不講道理。這也是為什么,我們經(jīng)常會(huì)聽到孩子抱怨數(shù)學(xué)makes no sense (說(shuō)不通??!)。

讓孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)脫離常識(shí),只看重規(guī)則,是家長(zhǎng)和老師的失敗。

美國(guó)數(shù)學(xué)研究有很多分支,近些年非常受到重視的一個(gè)分支,是研究學(xué)生是如何看待數(shù)學(xué)的,而他們對(duì)待數(shù)學(xué)的態(tài)度又是如何(相互)影響他的人格形成的。 其中,比較有代表性的研究來(lái)自斯坦福大學(xué)的Jo Boaler教授。

Boaler在研究中,對(duì)兩個(gè)學(xué)校的學(xué)生進(jìn)行了對(duì)比觀察。

她發(fā)現(xiàn),因?yàn)榻虒W(xué)方式的不同,第一個(gè)學(xué)校的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥的,沒有道理可講,需要大量的死記硬背。這時(shí)候,即使有些學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)很好,他們也傾向于選擇遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)的職業(yè)。因?yàn)檫@些學(xué)生認(rèn)為自己是有創(chuàng)造力的,好奇愛動(dòng)腦的,因此數(shù)學(xué)不適合他們。

而第二個(gè)學(xué)校的學(xué)生,因?yàn)閷W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)不同,認(rèn)為數(shù)學(xué)是有挑戰(zhàn)性的,有趣的,他們對(duì)待數(shù)學(xué)的心態(tài)更開放,也更愿意接受更多的職業(yè)嘗試。

父母能做些什么?

在數(shù)學(xué)成為一門學(xué)科,走進(jìn)學(xué)校,以及變成遍地開花的補(bǔ)習(xí)班和一本本習(xí)題冊(cè)之前,它首先是人們用來(lái)認(rèn)識(shí)自然世界的基礎(chǔ)的方法之一。

數(shù)學(xué)之所以被發(fā)明出來(lái),恰恰是因?yàn)槲覀兊纳钪须x不開它。而現(xiàn)在歷經(jīng)數(shù)千年的演變,數(shù)學(xué)衍生出屬于它自己的語(yǔ)言和符號(hào),一不小心,就變成高高在上,脫離生活的死板無(wú)聊的學(xué)科。

所以,作為父母能做什么?

1. 還原數(shù)學(xué)本來(lái)的樣子,讓它回歸生活

數(shù)感不是數(shù)(3聲)數(shù)(4聲),而是知道數(shù)“量”的變化是怎么來(lái)的,是去了解一種數(shù)量變化的因果關(guān)系。背熟9X9乘法表,或是熟記圓周率小數(shù)點(diǎn)之后100位,都跟數(shù)感一點(diǎn)關(guān)系沒有。

簡(jiǎn)單的說(shuō)來(lái),切生日蛋糕,超市購(gòu)物,停車?yán)U費(fèi),商品打折……日常生活中的方方面面都可以變成數(shù)學(xué)相關(guān)的對(duì)話。

比如,周末全家出游,要給車子加油,車子大概一公升油可以跑15公里,現(xiàn)在車?yán)镉?升油,手機(jī)查地圖看看距離,往返一共需要80公里。那么趕緊決定一下,現(xiàn)在是不是要加油了? 

這就是生活中時(shí)常發(fā)生的對(duì)話,而這種對(duì)話的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的成比例思維。

我們首先是實(shí)實(shí)在在地跟一個(gè)數(shù)量打交道,然后才是把這個(gè)數(shù)量的變化用數(shù)學(xué)表達(dá)式體現(xiàn)出來(lái)。數(shù)學(xué)表達(dá)式,是用來(lái)體現(xiàn)數(shù)量變化的關(guān)系,而不是單純的符號(hào)游戲。

2. 多問(wèn)開放型問(wèn)題,少問(wèn)封閉式問(wèn)題

與其隨時(shí)隨地抽查孩子的計(jì)算能力,不如問(wèn)問(wèn)孩子有趣的問(wèn)題。1+1人人都會(huì),但是一條金魚和一條熱帶魚能不能相加?你能不能想出一個(gè)情景來(lái)?

如果換成1條金魚和2條水草呢?他們能不能相加?加起來(lái)是什么呢?同樣的,你能不能想出一個(gè)情景來(lái)?

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鼓勵(lì)孩子去回答開放性的問(wèn)題,并大力表?yè)P(yáng)他們腦洞大開的想法,可以幫助孩子重新認(rèn)識(shí)什么是數(shù)學(xué):它不僅僅是習(xí)題和唯一正確答案,更是一種思考方式,它有很多種可能性。

3. 給孩子營(yíng)造一個(gè)相對(duì)安全的環(huán)境,讓他們可以自由的提問(wèn)。

不要小看這一點(diǎn),一個(gè)不敢自由提問(wèn)的孩子+被知識(shí)詛咒了的父母,這個(gè)組合的結(jié)果一定是天怒人怨的。

前面已經(jīng)說(shuō)過(guò),數(shù)學(xué)符號(hào)和表達(dá)式,經(jīng)過(guò)了漫長(zhǎng)的從具體到抽象的演變,而這中間任何一個(gè)環(huán)節(jié)沒搞清楚,都會(huì)導(dǎo)致“不明白”。

上次給LL輔導(dǎo)數(shù)學(xué)題,我姐夫皺著眉頭說(shuō),“小姨去幫LL加強(qiáng)一下面積和周長(zhǎng)的計(jì)算方法吧,講了無(wú)數(shù)次了,就是記不住?!?/p>

走進(jìn)房間,關(guān)上門,我跟LL說(shuō),小姨在做一個(gè)教學(xué)實(shí)驗(yàn),學(xué)生都是跟你一樣的三年級(jí)小學(xué)生,所以今天要請(qǐng)你幫個(gè)忙,當(dāng)我的助教。

“小姨想知道怎么講面積和周長(zhǎng)的問(wèn)題,才能讓他們聽明白,我在你身上實(shí)驗(yàn)一下可不可以? ”

奠定了我們互動(dòng)的基調(diào)之后(至少讓LL知道,他的“不明白”實(shí)際對(duì)我是有幫助的),我設(shè)計(jì)了幾個(gè)題目,都跟周長(zhǎng)和面積有關(guān)系。

我不講公式,只講概念,十幾分鐘之后,我嘗試著問(wèn)LL,“所以你覺得面積和周長(zhǎng)這兩個(gè)東西,還有什么是其他的小朋友弄不懂的?”

他認(rèn)真想了半天,然后小心的說(shuō),“為什么面積用乘法而周長(zhǎng)用加法?”

這個(gè)問(wèn)題,很多家長(zhǎng)聽了之后怕是會(huì)晴天霹靂吧—豈不是講了半天全白費(fèi)了!

而實(shí)際上,一個(gè)孩子能這么發(fā)問(wèn),至少說(shuō)明:

他很勇敢,不怕被訓(xùn)斥“怎么做了這么多題,還搞不清楚這么基本的概念?!”

能問(wèn)出這樣的問(wèn)題,說(shuō)明他認(rèn)真思考了這兩者的異同。

而我,終于知道他的問(wèn)題在哪里了!

同時(shí),我也可以推想出,老師和家長(zhǎng)在講題的過(guò)程中,一定是更注重程序知識(shí)(“記住啊,面積就是長(zhǎng)成寬,周長(zhǎng)就是長(zhǎng)加寬加長(zhǎng)加寬”)而不是概念知識(shí)。

不要把孩子的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單的歸結(jié)為不認(rèn)真,記不住。這背后或許存在關(guān)鍵性的概念,需要我們幫助孩子一起去理清楚,弄明白。 

寫在最后

學(xué)好數(shù)學(xué),不等于把孩子變成計(jì)算機(jī)器。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),和數(shù)學(xué)建立某種關(guān)系,是孩子們成長(zhǎng)過(guò)程中的一部分。因?yàn)榇笕说慕箲],疏忽,不耐煩,讓孩子早早形成對(duì)數(shù)學(xué)的偏見,排斥數(shù)學(xué),這對(duì)孩子來(lái)說(shuō)并不公平。

的確,不是每個(gè)孩子長(zhǎng)大之后都能變成數(shù)學(xué)家。但是每個(gè)孩子,都至少應(yīng)該有機(jī)會(huì)學(xué)會(huì)用一種數(shù)學(xué)的思維去認(rèn)識(shí)我們身處的這個(gè)奇妙的自然和人文世界。

本文轉(zhuǎn)自微信公眾號(hào)“成長(zhǎng)合作社”,作者趙晴博士,原文標(biāo)題《數(shù)學(xué)戰(zhàn)爭(zhēng):寫給小學(xué)生的父母》。更多嚴(yán)肅的教育理論分享,請(qǐng)關(guān)注“成長(zhǎng)合作社”。

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