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譯者推薦：

“數(shù)學不好”可能由多種因素造成。本文中，作者著重討論了“識數(shù)能力缺陷”，并通過最新的神經(jīng)科學與神經(jīng)影像學研究探討其成因；同時，給出了兩個通過適應性學習程序進行干預的案例；文章還討論了研究這一問題的意義與一些值得進一步研究的問題。此文對從事數(shù)學教學、特殊教育的讀者必有所幫助；對其他讀者，也可通過此文拓寬視野、廣博見聞，并了解如何客觀地表征人類的學習。 

本文選自SCIENCE ，作者 Brian Butterworth, Sashank Varma, Diana Laurillard，譯者 ginger、芋辰、孫欣怡、Iris、AtKun。

發(fā)展性計算障礙指數(shù)學學習能力紊亂，患病率約在5％～7％之間，該比例與發(fā)展性閱讀障礙相當。英國政府的一份主要報告總結(jié)表明：“相比發(fā)展性閱讀障礙，發(fā)展性計算障礙并未收到應有的關(guān)注。計算障礙的后果和閱讀障礙一樣嚴重。計算障礙所獲得的研究經(jīng)費嚴重不足。從這些數(shù)據(jù)中可以看出：自2000年以來，美國國家衛(wèi)生研究院（NIH）在閱讀障礙上投入的研究經(jīng)費達1.072億美元，而計算障礙所獲得的經(jīng)費只有230萬美元。

在臨床上，對計算障礙的確診是將患者數(shù)學成績欠佳作為衡量標準，而并非確認其認知表型。因此，人們無法在干預的環(huán)境下，或在復雜的數(shù)學教學大環(huán)境下，提供及時有效的補救措施。

數(shù)學水平低會給國家造成巨大的經(jīng)濟負擔，提高數(shù)學水平能夠大大增加國家經(jīng)濟實力。經(jīng)濟合作與發(fā)展組織（OECD）的最近一項分析研究表明：根據(jù)歷史經(jīng)驗， 提高個人數(shù)學和科學學科水平1.5個標準差，能實現(xiàn)0.87％人均國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）的年增長率。時間滯后相關(guān)性研究表明, 教育水準的改善有助于GDP增長。僅僅通過幫助數(shù)學水平欠佳的學生達到國際學生評估計劃（PISA）的最低標準（所有經(jīng)合組織國家每年增加0.68％），就能夠?qū)崿F(xiàn)GDP實質(zhì)性的長期增長。例如，在美國，若能幫助處于最底端的19.4％的學生達到最低（PISA）標準，美國的對應GDP增長率可達0.74％。

除了GDP增長緩慢之外，數(shù)學水平低也會給政府以及個人帶來巨大財政和個人經(jīng)濟負擔。一組英國研究發(fā)現(xiàn)，和低識字能力相比，數(shù)學水平低更會為個人生活帶來困擾，比如收入會更低，消費更少，更容易生病，更可能觸犯法律，更需要得到學校的幫助。每年英國在數(shù)學障礙上的開銷達24億英鎊。

什么是計算障礙？

近期神經(jīng)行為和遺傳研究表明，計算障礙是一種認知缺陷癥狀。學術(shù)文獻中(對計算的定義)有多種專業(yè)術(shù)語，但核心內(nèi)容一致：學習者在學習數(shù)學過程中，存在嚴重的問題?！鞍倮锾粢弧钡挠嬎阏系K者存在正常智力發(fā)育（遲緩）和工作記憶（有限）等癥狀，還伴有其他的發(fā)展型障礙，例如閱讀障礙，多動癥（ADHD）。但是，需要指出的是有的患有計算障礙的成年人在某些地方表現(xiàn)驚人，例如他們非常擅長幾何、統(tǒng)計、高難度的電腦編程。

研究證據(jù)表明：數(shù)學學習能力具有極強的遺傳性。科學家對1500對同卵和1375對異卵七歲的雙胞胎做基因分析，發(fā)現(xiàn)：30%的遺傳基因和數(shù)學能力有關(guān)。盡管計算障礙和閱讀障礙存在共發(fā)性，對閱讀障礙患者的一級親屬的研究表明：數(shù)字能力是單獨的構(gòu)成因素，同時伴有閱讀和列舉另外兩個主要因素。這些研究結(jié)果揭示了：算數(shù)學習過程有部分是基于認知系統(tǒng)，有別于其他的一般的學派觀點。

該基因研究由神經(jīng)行為研究作為理論依據(jù)及支持，算術(shù)發(fā)展的核心（根基） 是人們具有識別并算出一組物體的數(shù)量的能力（即識別物體集合的數(shù)量）。計算障礙者缺乏該基本能力，無法算出小量物體的數(shù)量，也無法比較兩組點陣的數(shù)量。兒童和成年人的比較點陣的能力直接影響了數(shù)學學習總體能力。處理數(shù)字能力的認知缺陷和閱讀障礙患者對語音識別的認知缺陷有異曲同工之妙。

雖然研究領(lǐng)域還沒有很多對計算障礙做的縱向調(diào)查研究，但是計算障礙可能伴隨成長，甚至影響那些在其他認知領(lǐng)域沒有任何問題的成年人。所以，有必要進一步研究對計算障礙者早期正確干預的影響。對于計算障礙到底是發(fā)展延緩的一種表現(xiàn)，還是發(fā)展缺陷，是否可以通過教育來解決計算障礙所帶來的困擾等類似問題還有待討論。

不少有關(guān)手指表征的大腦以及神經(jīng)研究都有提及計算障礙這一發(fā)展缺陷。眾所周知，人們會用手指的幫助來學習數(shù)學，提高數(shù)學能力。比如在數(shù)物體的時候會用手指幫忙。如果大腦對手指表征不敏感（大腦無法識別手指），或者說對數(shù)組的概念有缺陷，孩子的認知發(fā)展中，就無法建立手指和數(shù)字之間的關(guān)聯(lián)。識別手指的發(fā)展缺陷可以預測孩子的數(shù)學學習能力。Gerstmaan綜合癥的主要癥狀包括計算障礙和識別手指障礙（finger agnosia）。病因是由于大腦頂葉發(fā)展異常，以及其發(fā)育的過程和數(shù)學學習能力有直接的關(guān)聯(lián)。

數(shù)字對計算障礙者沒有太大的意義，有別于常人。他們無法憑直覺掌握數(shù)字的大小，數(shù)值之間的比較。這些基本的理念支撐著所有和數(shù)字有關(guān)的工作。 

對神經(jīng)病患者近百年的研究表明：大腦的頂葉和數(shù)學能力有關(guān)，有別于語言和專業(yè)方面的認知能力。一個特別有趣的發(fā)現(xiàn)是，人的大腦即便無法記起細節(jié)，數(shù)學概念和法則也得以保留；反之亦然，即便無法理解算術(shù)概念和法則，依然可以記得細節(jié)。

神經(jīng)影像學實驗證實了這一點，并揭示了頂葉和左額葉之間的大腦區(qū)域和處理更復雜任務的關(guān)聯(lián)性。一個重要的新發(fā)現(xiàn)是，數(shù)學學習的神經(jīng)組織呈動態(tài)性，會在學習的過程中從一個子網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)變到另一個子網(wǎng)絡(luò)。因此，學習新的算術(shù)細節(jié)主要動用了額葉和頂內(nèi)溝（IPS），但運用先前學過的細節(jié)則牽涉到左角形腦回—這一部位的主要功能是回憶細節(jié)。即便是優(yōu)秀的計算者也要運用到這一網(wǎng)絡(luò)——他們還補充運用了其他腦區(qū)，拓展了工作記憶的能力。

目前，大量證據(jù)表明，頂內(nèi)溝支持了符號數(shù)值的表征，不論是模擬數(shù)值，還是編碼基數(shù)的離散表示。當處理物體陣列數(shù)值時，頂內(nèi)溝會激活。除此之外，當頂內(nèi)溝的運作受到磁刺激的干擾時，估算離散數(shù)值的能力也隨之受到影響。重點在于，幾乎所有的算術(shù)和計數(shù)過程都涉及頂葉，特別是頂內(nèi)溝。這意味著這些大腦部位是數(shù)學能力的核心。 

四歲兒童和成年人回應數(shù)量變化時，大腦活動模式顯示出雙側(cè)頂葉有重合區(qū)域。然而，更復雜數(shù)學能力的神經(jīng)組織遵循著一定的發(fā)展軌跡。首先，處理日常和數(shù)字有關(guān)活動的大腦區(qū)域隨年齡而變化，從額葉區(qū)（與執(zhí)行功能和工作記憶相關(guān)）轉(zhuǎn)至內(nèi)側(cè)顳區(qū)（與陳述性記憶相關(guān)），再轉(zhuǎn)至頂葉區(qū)（與數(shù)值處理和提取算術(shù)細節(jié)相關(guān)）和顳枕區(qū)（與符號形式處理相關(guān)）。這些變化容許大腦更高效且自動地處理數(shù)字，從而使其能夠處理更復雜的數(shù)學運算。正如A. N. Whitehead觀察所得，對符號表示法的理解“讓大腦從所有不必要的工作解放出來……而專注于更高級的問題”。

這意味著神經(jīng)科學領(lǐng)域極有可能出現(xiàn)主攻算術(shù)處理的，或是專門研究大腦和經(jīng)驗之間的發(fā)育性互動關(guān)系。所以，可以將計算障礙理解為：傳統(tǒng)的學校環(huán)境無法提供合適的環(huán)境使得計算障礙者的大腦能夠正常發(fā)展，學習算術(shù)。

當然，數(shù)學不僅僅是簡單的數(shù)字處理和提取先前所學細節(jié)。在一個數(shù)字社會中，我們必須學會更加復雜的數(shù)學概念，如位值，對應中文地區(qū)，實際上就是數(shù)位（個十百千）的概念，以及更復雜的過程，如“很長的”加法、減法、乘法和除法。近期學術(shù)研究發(fā)現(xiàn)了大腦神經(jīng)和解決復雜的多位數(shù)算術(shù)直接的關(guān)聯(lián)。該研究再次表明，與提取先前所學細節(jié)相比，解決新的問題需要更多地激活負責推理和工作記憶的額下回，以及負責相關(guān)數(shù)值表征的頂內(nèi)溝。 

這些研究中顯著的結(jié)果就是頂葉的重要性。頂內(nèi)溝影響了簡單和復雜運算，這意味著基礎(chǔ)的數(shù)值表征總是會被激活，即便是從記憶中提取早已熟記的個位數(shù)加法和乘法細節(jié)。這與確立已久的“問題大小效應”觀點一致，認為在個位數(shù)運算中，數(shù)越大，所需時間越長，即便運算者早已熟知這些問題?？磥?，典型的發(fā)展個體即便是從記憶中提取數(shù)學細節(jié)，也忍不住會同時激活組成數(shù)字的意義。如果這一關(guān)聯(lián)未能建立，就必然會妨礙計算。

大腦和計算障礙有關(guān)嗎？

目前，臨床上依據(jù)算術(shù)測試成績來確診計算障礙。然而，即使在小學（1-5年級），算術(shù)能力已涉及各種認知能力，包括推理能力、工作記憶、語言理解和空間認識。任何一種能力有缺陷都會影響學習表現(xiàn)。神經(jīng)的結(jié)構(gòu)及功能差別能夠反映出這些認知能力的不同。但是，如果計算障礙是處理數(shù)字的關(guān)鍵認知缺陷，那么就應該在支持計算小量物體和比較點陣數(shù)量的顱頂骨神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)異常。

最近基于計算障礙者大腦的發(fā)現(xiàn)與處理數(shù)字存在關(guān)鍵認知缺陷的觀點是一致的：

1. 我們發(fā)現(xiàn)在比較數(shù)量、數(shù)字標志，或算術(shù)時，有計算障礙的兒童大腦激活較少。在這些任務中，這些兒童沒有怎么使用頂內(nèi)溝區(qū)（即IPS，頂內(nèi)溝是跟數(shù)字計算緊密相關(guān)的腦功能區(qū)，腦灰質(zhì)是信息處理的中心, 能對外界的各種刺激做出反應)。

2. 計算障礙者在有關(guān)基本數(shù)字處理的腦區(qū)域中灰質(zhì)較少，包括左頂內(nèi)溝、右頂內(nèi)溝和雙側(cè)頂內(nèi)溝——計算障礙者的這些腦區(qū)不及正常學習者發(fā)育得好。

3. 除此之外，據(jù)醫(yī)學成像反映，（對計算障礙者和正常學習者來說）相關(guān)顱頂骨區(qū)之間的連接、顱頂骨區(qū)與處理數(shù)字的枕顳區(qū)之間的連接也有差異——計算障礙者沒有發(fā)育出能協(xié)調(diào)計算能力所需腦區(qū)的腦結(jié)構(gòu)。

圖表1表明，頂內(nèi)溝只是大量皮層網(wǎng)絡(luò)中支持數(shù)學認知能力的一部分。該網(wǎng)絡(luò)可能以各種方式失效。如果計算障礙與其他認知缺陷結(jié)合（包括工作記憶，推理能力和語言能力），會導致計算障礙表現(xiàn)出不同癥狀類型。

另外，同種癥狀也能表現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中的不同缺陷。比如說，不能正常比較數(shù)字是由于跟處理數(shù)字有關(guān)的梭狀回有缺陷（注釋：梭狀回位于大腦視覺聯(lián)合皮層中底面，負責對物體次級分類的識別），跟數(shù)量大小類比有關(guān)的頂內(nèi)溝有缺陷，或者是梭狀回和頂內(nèi)溝之間的鏈接較弱。

這和數(shù)學教育有什么關(guān)系？

盡管不是具體針對計算障礙者，人們對如何幫助數(shù)學能力弱的孩子曾有很多嘗試。在美國的實證研究集中于貧困背景的孩子，通常他們的社會經(jīng)濟地位較低。目前英國國家戰(zhàn)略特別關(guān)注算術(shù)能力低的兒童，他們診斷每個孩子在理解上的概念差距，用專門設(shè)計的視覺、言語和肢體活動給孩子更多個性化支持?？上В?003年試行起幾乎沒有對這些戰(zhàn)略有效性的量化評估：“現(xiàn)存評估使用了各種不同的衡量標準，大部分研究未包涵比率收益或者效應值，或能得出這兩個統(tǒng)計意義的數(shù)據(jù)。

所以我們還不太能辨別，使用同等教學的個性化版本來彌補差距是否有效。另外一個問題是，有相關(guān)專家訓練助教時，這些干預是有效的——但這并非所有學校都能提供。

這些標準方案取決于課程體系所定義的正常算術(shù)能力，以及算術(shù)能力低的兒童和正常兒童發(fā)育軌跡的差異。相比之下，腦科學研究表明，與其應對孤立概念的差距，治療應該先建立基本的數(shù)字概念。這能為獨立于學生交際和學校環(huán)境的評估和干預提供明確認知目標。在個人認知能力評估中，設(shè)置列舉和比較數(shù)字的測試可以補充標準算術(shù)課程測試的結(jié)果，從而區(qū)分計算障礙與其他原因?qū)е碌乃阈g(shù)能力低下。

在干預中，加強數(shù)字的意義，尤其是數(shù)學事實及其構(gòu)成意義間的聯(lián)系是很重要的。正如前文所提，從記憶中正常檢索簡單的算術(shù)事實會引出對數(shù)字的數(shù)值認知。

若缺乏針對性干預，大多數(shù)有計算障礙的學生在初中階段仍掙扎于基本算術(shù)。有效的早期干預可減少日后對算術(shù)能力的影響。對閱讀障礙也是同理。盡管代價不菲，這筆投資將得到12-19倍的回報。

教育者能做什么？

盡管神經(jīng)科學告訴我們應該教什么，但卻沒有具體闡明教學的方法。幾十年來，具體的操作活動用于數(shù)學補習，因為這些方法提供了一些任務使數(shù)字概念具有意義，（幫助學習者理解）目標、學習者行動和針對行動的信息反饋三者之間建立內(nèi)在關(guān)系。教育工作者們認為信息反饋在任務中賦予了內(nèi)在動力，這對于學習者的價值遠大于外部動機或是來自監(jiān)管老師的獎勵。

有經(jīng)驗的特殊教育（SEN）教師用身體操作游戲的形式（比如Cuisenaire小棒，數(shù)字軌道和撲克牌）讓學習者體會數(shù)字的意義。通過玩這些游戲，學習者能夠在他們的操作中探索，例如，哪個小棒和代表8的小棒能夠一起配對組成代表10的小棒。然而，這些方法要求經(jīng)過特殊培訓的老師與單個或一個小組的學習者一起進行且只能在有限的在校時間內(nèi)操作。

因此，一種很有前景的治療計算障礙的辦法就是創(chuàng)建基于神經(jīng)科學的適應性軟件。此種軟件很可能減少對特殊培訓教室的需求，同時能擺脫學校課程安排的限制。這里有兩個關(guān)于上述適應性軟件應用的案例。

Number Race這一系統(tǒng)針對的是（人腦）頂葉溝區(qū)域的遺傳性數(shù)字估算系統(tǒng)，（該區(qū)域）能幫助早期計算發(fā)育。計算障礙者的這一系統(tǒng)并不那么精準，而這一訓練就是為提升精確度設(shè)計的。內(nèi)容即是選出兩組點陣中的較大一個。軟件能適應學習者的水平，如果他們的表現(xiàn)進步了，兩列點陣之間的數(shù)量差異隨之變小。同時，軟件會給出信息回應哪一個答案是對的。

另一個適應性游戲 Graphogame-Maths 則指向頂葉溝內(nèi)計算障礙被削弱的用于表示或操作集合的遺傳系統(tǒng)。同樣地，游戲是在比較可見的物品列，但這里所指的集合足夠小又能數(shù)出。其進階任務要求找出集合中物品的個數(shù)和其語言數(shù)字標簽之間的關(guān)聯(lián)。軟件也會給出信息反饋哪一個正確。

研究者以幼兒園的孩子（6到7歲）為對象，做了嚴謹?shù)膶嶒炑芯?，比較這兩款游戲的有效性。這些兒童都被老師認為在早期數(shù)學發(fā)展上需要特殊支持。在每個上學日10-15分鐘，連續(xù)3個星期的游戲后，學習者在兩種訓練游戲中——即數(shù)字比較能力有顯著的提升，但（這兩個游戲?qū)Γ?shù)數(shù)和計算的效果不明顯。同時，Graphogame-Maths看起來能在數(shù)字比較上帶來略微更強且更持久的提升。

盡管Number Race和Graphogame-Maths是基于神經(jīng)科學研究的適應性游戲，兩者都不需要學習者操縱數(shù)量。而操縱行為對于提供任務目標，學習者行為和針對行為的信息反饋間的內(nèi)在關(guān)系非常關(guān)鍵。當一個學習環(huán)境提供了信息反饋，它就能使學習者做出根據(jù)目標調(diào)整后的行動，同時，他們能成為自己的“批判者”，而不是僅僅依賴于老師的指導。這同神經(jīng)科學中無監(jiān)督強化學習里的“Actor-Critic” 模型很相似。這個模型提出在學習機制內(nèi)部加入一個“批判元素”，而非外在附加的指導，然后評估信息反饋以建構(gòu)下一個動作。 

適應性軟件中開始出現(xiàn)一種截然不同的方法——應用在特殊教育中的仿真操作性任務。這種給予神經(jīng)科學研究的方法關(guān)注數(shù)字處理的過程(圖3)。此法中的信息反饋不是一種通過展示正確答案的外在評價，相反，它服務于學習者的內(nèi)在評價—即要求目標學習者在固定距離內(nèi)匹配兩個數(shù)字棒，如不成功，它能讓學習者自己解讀進一步能達到目標的行動。

適應性軟件的另一個優(yōu)勢在于，與和一位老師練習相比，學習者能夠在單位時間內(nèi)訓練更多次。研究發(fā)現(xiàn)“特殊教育學習者（12歲）采用Number Bonds游戲[如圖3所示]，每分鐘完成了4-11次的嘗試，然而在一個配備3名監(jiān)督學習者的特殊教育課堂里，在為期10分鐘的觀察時間中，同樣的學習者每分鐘僅僅做了1.4次嘗試”。在另一組11歲的特殊教育小組里，這個游戲于13分鐘內(nèi)引發(fā)了平均173次學習者的操縱 (其中答案完全正確的在5分鐘內(nèi)有88個，因為軟件根據(jù)學習者的回應調(diào)整了時間點)。以這種方法，神經(jīng)科學研究啟示我們在下一代適應性軟件中要重點指向哪些東西。

目前我們尚不確定，如果在早期用正確的方式干預計算障礙，是否能將其轉(zhuǎn)化為正常計算水平。計算障礙也許跟讀寫困難類似，在學習者不能像正常發(fā)育的人一樣做認知處理時，早期干預能夠提升實際效果。

未來面臨的挑戰(zhàn)

認知和發(fā)展科學家近來的研究為計算力障礙提供了一個科學的解釋，即：“理解數(shù)量”和“對應數(shù)字符號與數(shù)量間關(guān)系”的能力不足。教育科學家開發(fā)的個性化學習應用程序可針對性地補救這些缺陷，并可用于為獨立學習設(shè)計的手持設(shè)備上。由于正常人對數(shù)值處理（的能力）也存在差異，同樣的應用程序也有助于尚處入門（階段）的主流學習者?？梢灶A見，所有學習者都將從這一發(fā)展中受益。

盡管（關(guān)于計算力障礙的研究）已取得了許多進展，一些問題仍有待討論：

• 計算障礙者所表現(xiàn)出的行為缺陷有多種可能性，因此，就產(chǎn)生了一個非常有趣的問題，即估算數(shù)量方面存在的缺陷是否可以作為診斷計算障礙的必要或充分條件。這一問題至關(guān)重要，因為它影響到基于識數(shù)能力這一診斷評估是否足以（判定是否患計算力障礙）——亦或需要多種評估；它還影響到識數(shù)是否是補救治療中唯一值得關(guān)注的點——亦或還需關(guān)注其他（也許是更偏向符號性的）的行為特征。

• 神經(jīng)科學的測量方法是否具有足夠的靈敏度，能比行為評估的方式更早能夠診斷學習者是否具有計算障礙——就如同其在閱讀障礙中的應用一樣。

• 我們需要對（提高計算障礙者計算能力的輔助方式）做進一步的研究。即便輔助方式能幫助計算障礙者提高計算能力，但無法證實到底是學習者的認知與神經(jīng)功能變得更貼近常人，還是其在其他方面形成了補償機制。這需要更多拓展性的研究。可類比的是，在對閱讀障礙來說，功能性神經(jīng)影像已可顯示成功的行為干預對神經(jīng)功能模式的影響。

• 個性化學習應用允許對基于理論的指導干預進行細粒度的評估。舉例而言，針對主動操作與關(guān)聯(lián)學習，或內(nèi)在動機與外在動機間價值的評價，可由正交地 控制學習環(huán)境中的這些相關(guān)變量來實現(xiàn)。這些因素的影響，可由上述操作針對的學習者執(zhí)行任務的一系列表現(xiàn)進行行為上的評估，也可由結(jié)構(gòu)性或功能性神經(jīng)影像針對學習者隨時間的神經(jīng)變化來評估?；谡n堂實地而非理論的測試對教育理論的發(fā)展具有巨大前景，并可能因此有助于檢測神經(jīng)科學中的假設(shè)。

• 迄今為止，計算障礙尚未被教師、教學者以及（似乎包括）研究資助機構(gòu)廣泛關(guān)注。受關(guān)注可能是為飽受計算力障礙困擾者謀求更好前景的基礎(chǔ)。

社會迫切需要幫助有困難的學習者，使其識數(shù)能力足以適應現(xiàn)代社會的工作環(huán)境。當前有關(guān)計算障礙的研究已指出了一條會大有成效的前行路線，但對接受資助而言，仍是“弱關(guān)系”，即缺少基于實證的干預方法。了解大腦如何處理數(shù)字和算術(shù)概念，有助于專注培養(yǎng)學生獲取關(guān)鍵概念知識的教學方法研究；也有助于專注跟蹤干預后的結(jié)構(gòu)上和功能上的變化的神經(jīng)科學研究。了解如何幫助這些學習者正在、并將繼續(xù)帶領(lǐng)科學走向下一步。 

>>聲明

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